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求根公式推导

2025-11-01 14:55:06 来源：网易用户：怀玉萱

【求根公式推导】在数学中，二次方程的求根公式是解一元二次方程的重要工具。它能够帮助我们快速找到方程的根，而无需通过试根或图像法来寻找解。本文将对求根公式的推导过程进行详细总结，并以表格形式展示关键步骤和公式。

一、求根公式的定义

对于一般的二次方程：

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

其求根公式为：

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

该公式可以用于求出所有实数或复数解，具体取决于判别式 $ b^2 - 4ac $ 的值。

二、求根公式的推导过程

以下是推导过程的简要总结：

步骤	内容说明
1	从标准形式开始：$ ax^2 + bx + c = 0 $
2	将方程两边同时除以 $ a $：$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 $
3	移项得到：$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $
4	完全平方配方法：在等式两边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $，即 $ \frac{b^2}{4a^2} $
5	左边变为完全平方：$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} $
6	合并右边：$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $
7	开平方：$ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
8	解出 $ x $：$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

三、关键点总结

- 前提条件：必须满足 $ a \neq 0 $，否则方程不再是二次方程。

- 判别式：$ \Delta = b^2 - 4ac $ 决定了根的性质：

- 若 $ \Delta > 0 $：有两个不同的实数根；

- 若 $ \Delta = 0 $：有一个重根（两个相等的实数根）；

- 若 $ \Delta < 0 $：有两个共轭复数根。

- 应用范围：适用于所有形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程。

四、示例验证

以方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 为例：

- $ a = 1, b = -5, c = 6 $

- 判别式：$ (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 $

- 根为：$ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} $

因此，解为 $ x = 3 $ 和 $ x = 2 $，与实际结果一致。

五、结语

求根公式的推导不仅是数学中的基础内容，也是理解二次函数性质的重要途径。掌握其推导过程有助于提高逻辑思维能力和问题解决能力。通过表格形式的总结，可以更清晰地理解每一步的操作与意义，从而加深记忆与应用能力。

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