矩阵的行列式怎么求

2025-10-08 13:44:20 来源：网易用户：薛佳岚

【矩阵的行列式怎么求】在数学中，矩阵的行列式是一个重要的概念，尤其在解线性方程组、判断矩阵是否可逆等方面具有广泛应用。本文将对“矩阵的行列式怎么求”进行总结，并通过表格形式清晰展示不同阶数矩阵的计算方法。

一、行列式的定义

行列式（Determinant）是对于一个n×n的方阵（即行数和列数相等的矩阵）所定义的一个标量值。它能够反映矩阵的一些性质，例如是否可逆（行列式不为零时矩阵可逆）。

二、行列式的计算方法总结

以下是对不同阶数矩阵行列式的计算方式总结：

矩阵阶数	行列式计算公式	示例说明
1×1	$ \text{det}(A) = a_{11} $	若矩阵为 $ [a] $，则行列式为 $ a $
2×2	$ \text{det}(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $	例如：$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $
3×3	使用展开法或对角线法则：$ \text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) $	或使用萨里法则（Sarrus法则）
n×n	通过余子式展开（按行或按列展开），递归计算。通常选择有较多0的行或列以简化运算	例如：$ \text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $，其中 $ M_{ij} $ 是去掉第i行第j列后的余子式

三、行列式的性质（简要）

- 转置不变性：$ \text{det}(A^T) = \text{det}(A) $

- 交换两行/列变号：交换后行列式取反

- 某行/列全为0：行列式为0

- 两行/列相同：行列式为0

- 倍数加到另一行：行列式不变

- 三角矩阵：行列式为对角线元素乘积

四、实际应用举例

假设我们有一个3×3矩阵：

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

其行列式为：

\text{det}(A) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)

= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)

= -3 + 12 - 9 = 0

这说明该矩阵不可逆。

五、总结

矩阵的行列式是线性代数中的核心概念之一，不同阶数的矩阵有不同的计算方法。从最简单的1×1矩阵到复杂的n×n矩阵，都可以通过特定的方法求出其行列式。掌握这些方法有助于理解矩阵的性质及在实际问题中的应用。

如需进一步了解行列式的具体应用场景或计算技巧，欢迎继续阅读相关资料。

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