期望和方差的计算公式

【期望和方差的计算公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望和方差计算公式的总结，并通过表格形式进行对比说明。

一、期望（Expectation）

期望是一个随机变量在长期重复试验中所取值的平均结果。对于离散型和连续型随机变量，其期望的计算方式有所不同。

1. 离散型随机变量的期望

设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则期望 $ E(X) $ 计算如下：

$$

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i

$$

2. 连续型随机变量的期望

设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则期望 $ E(X) $ 计算如下：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

$$

二、方差（Variance）

方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，数值越大表示数据越分散，反之则越集中。

1. 方差的定义

方差 $ \text{Var}(X) $ 定义为随机变量 $ X $ 与其期望 $ E(X) $ 的平方差的期望：

$$

\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2

$$

也可以简化为：

$$

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

$$

2. 离散型随机变量的方差

$$

\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i

$$

3. 连续型随机变量的方差

$$

\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx

$$

三、总结对比表

四、应用示例

以一个简单的离散型随机变量为例：

设 $ X $ 的分布如下：

则：

- 期望：$ E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 2.1 $

- 方差：$ \text{Var}(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3 = 0.49 $

通过上述分析可以看出，期望和方差是理解随机变量行为的关键工具，广泛应用于金融、工程、数据分析等多个领域。掌握它们的计算方法有助于更准确地预测和评估不确定性。

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