前n项求和公式

【前n项求和公式】在数学中，数列的前n项求和是一个非常基础且重要的概念。无论是等差数列、等比数列，还是其他类型的数列，掌握其前n项的求和公式对于解决实际问题具有重要意义。以下是对常见数列前n项求和公式的总结，并以表格形式进行展示。

一、等差数列前n项和

等差数列是指每一项与前一项的差为定值的数列，设首项为a，公差为d，则第n项为：

$$ a_n = a + (n - 1)d $$

前n项和公式为：

$$ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] $$

或

$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$

二、等比数列前n项和

等比数列是指每一项与前一项的比为定值的数列，设首项为a，公比为r（$ r \neq 1 $），则前n项和公式为：

$$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

若 $ r = 1 $，则所有项相等，此时前n项和为：

$$ S_n = a \cdot n $$

三、自然数前n项和

自然数序列是1, 2, 3, ..., n，这是一个等差数列，首项a=1，公差d=1。其前n项和为：

$$ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $$

四、平方数前n项和

平方数序列是1², 2², 3², ..., n²，其前n项和公式为：

$$ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $$

五、立方数前n项和

立方数序列是1³, 2³, 3³, ..., n³，其前n项和公式为：

$$ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $$

六、其他常见数列前n项和

总结

掌握不同数列的前n项求和公式，有助于快速计算数列的总和，特别是在工程、物理、经济等领域有广泛应用。通过理解这些公式的推导过程，可以加深对数列性质的认识，提高数学思维能力。建议在学习过程中多做练习，灵活运用各种求和方法。

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