如何用泰勒公式求极限

【如何用泰勒公式求极限】在高等数学中，求极限是常见的问题之一。当极限形式较为复杂时，使用泰勒公式（泰勒展开）是一种非常有效的工具。泰勒公式可以将函数在某一点附近展开为多项式形式，从而简化极限的计算过程。

一、泰勒公式的应用原理

泰勒公式的基本思想是：对于一个在某点 $ x_0 $ 可导的函数 $ f(x) $，可以将其在该点附近展开为一个无限级数：

$$

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)

$$

其中 $ R_n(x) $ 是余项，表示展开的误差。

在求极限时，我们通常关注的是展开到某个阶数后，能够使得分子和分母中的高阶无穷小被有效抵消，从而简化表达式。

二、使用泰勒公式求极限的步骤总结

三、典型例题分析

例1：

求极限

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}

$$

解法：

对 $ \sin x $ 在 $ x=0 $ 处展开：

$$

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

$$

代入原式：

$$

\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)) - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1)

$$

所以极限为：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}

$$

例2：

求极限

$$

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}

$$

解法：

对 $ e^x $ 在 $ x=0 $ 处展开：

$$

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)

$$

代入原式：

$$

\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)) - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1)

$$

所以极限为：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}

$$

四、注意事项

- 展开的阶数要足够高，以确保分子和分母中低阶项能够完全抵消。

- 注意余项的处理，避免因忽略高阶无穷小而影响结果。

- 在某些情况下，可能需要对多个函数分别展开再组合使用。

五、总结表格

通过合理运用泰勒公式，我们可以更高效地处理复杂的极限问题，尤其适用于涉及高阶无穷小或难以直接代入的情况。掌握这一方法，有助于提升数学分析的能力。

　　免责声明：本文由用户上传，与本网站立场无关。财经信息仅供读者参考，并不构成投资建议。投资者据此操作，风险自担。 如有侵权请联系删除！